Sifat Aljabar Sistem Bilangan Real dan Sifat Urutan Sistem Bilangan Real

Daftar Isi

 Sifat Aljabar Sistem Bilangan Real

Sistem bilangan real adalah himpunan semua bilangan rasional dan irasional. Dalam sistem ini, terdapat beberapa sifat aljabar dasar yang penting untuk dipahami, yaitu:

1. Tertutup (Closure)

   Penjumlahan:Jika ( a ) dan ( b ) adalah bilangan real, maka ( a + b ) juga bilangan real.

   Perkalian: Jika ( a ) dan ( b ) adalah bilangan real, maka ( a × b ) juga bilangan real.

2. Asosiatif (Associative)

   Penjumlahan: ((a + b) + c = a + (b + c)) untuk setiap bilangan real ( a, b, ) dan ( c ).

   Perkalian: ((a + b) × c = a × (b +c )untuk setiap bilangan real a, b,  dan c .

3. Komutatif (Commutative)

   Penjumlahan: a + b = b + a untuk setiap bilangan real  a dan b .

   Perkalian: a × b = b × a untuk setiap bilangan real  a dan b .

4. Identitas (Identity)

   Penjumlahan: Terdapat elemen 0 sedemikian rupa sehingga a + 0 = 0 + a = a untuk setiap bilangan real a.

  Perkalian: Terdapat elemen 1 sedemikian rupa sehingga  a × 1 = 1 × a = a untuk setiap bilangan real  a.

5. Invers (Inverse)

   Penjumlahan: Untuk setiap bilangan real a , terdapat bilangan real -a sedemikian rupa sehingga  a + (-a) = (-a) + a = 0 .

 Perkalian: Untuk setiap bilangan real  a  yang tidak nol, terdapat bilangan real  1/a sedemikian rupa sehingga a × 1/a = 1/a × a = 1 .

6. Distributif (Distributive)

   Perkalian terhadap penjumlahan: a × (b + c) = (a × b) + (a × c) untuk setiap bilangan real a, b, dan c .

Sifat Urutan Sistem Bilangan Real

Sistem bilangan real juga memiliki sifat-sifat urutan yang memungkinkan kita membandingkan ukuran dua bilangan. Sifat-sifat urutan ini meliputi:

1. Trikotomi (Trichotomy)

 Untuk setiap bilangan real a  dan b , salah satu dari berikut ini pasti benar:  a < b , a = b , atau  a > b.

2. Transitif (Transitive)

Jika a < b  dan b < c , maka a < c untuk setiap bilangan real a, b,  dan  c.

3. Antisimetri (Antisymmetry)

 Jika  a ≤ b  dan b ≤ a , maka  a = b untuk setiap bilangan real  a dan b .

4. Konsistensi Penjumlahan dengan Urutan

 Jika a < b , maka  a + c < b + c  untuk setiap bilangan real  a, b, dan  c.

5. Konsistensi Perkalian dengan Urutan

  Jika  a < b dan  c > 0 , maka  a × c < b × c untuk setiap bilangan real  a, b, dan c.

  Jika a < b dan  c < 0 , maka  a × c > b × c  untuk setiap bilangan real a, b,  dan  c.

Contoh Penerapan Sifat Aljabar dan Urutan

1. Penjumlahan Bilangan Real

   - Misalkan a = 3 dan  b = 5 . Maka, menurut sifat tertutup,  a + b = 8 , yang juga merupakan bilangan real.

2. Perkalian Bilangan Real

   - Misalkan a = 4 dan b = 2 . Maka, a × b = 8 , dan ini juga merupakan bilangan real.

3. Sifat Urutan dalam Penjumlahan

   - Jika a = 3 dan b = 5 , maka a < b . Tambahkan  c = 2 ke keduanya: a + c = 5 dan  b + c = 7 . Maka, 5 < 7, sesuai dengan sifat konsistensi penjumlahan dengan urutan.

4. **Sifat Urutan dalam Perkalian**

   - Jika \( a = 2 \) dan \( b = 4 \), maka \( a < b \). Jika \( c = 3 \) yang positif, maka \( a \cdot c = 6 \) dan \( b \cdot c = 12 \). Maka, \( 6 < 12 \), sesuai dengan sifat konsistensi perkalian dengan urutan.

Memahami sifat-sifat ini membantu dalam analisis dan manipulasi bilangan real dalam berbagai cabang matematika dan aplikasinya.